A expressão "juros sobre juros" é famosa até mesmo para quem não conhece profundamente os mecanismos intricados do mercado financeiro. A frase se refere ao efeito "bola de neve" sobre o capital sujeito à incidência de juros. Infelizmente, muitas pessoas conhecem esse efeito sobre as suas dívidas de cartão de crédito ou cheque especial ao invés do crescimento do patrimônio investido.
A incidência de juros é denominada capitalização (compounding em inglês) e ela pode assumir três formas distintas:
Capitalização simples: remuneração sobre o capital inicial, sem considerar os juros acumulados. O crescimento do valor, nesse caso, é linear;
Capitalização composta: incidência de juros sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados a cada período. Este é o verdadeiro "juros sobre juros";
Capitalização contínua: os juros são calculados a cada instante infinitesimal. Em termos grosseiros, é uma espécie de capitalização composta "ao extremo". Essa modalidade é o objeto de estudo deste texto.
Menos conhecida e discutida pelo grande público, a capitalização contínua é uma força-motriz poderosas e muito utilizada em modelos matemáticos no mercado financeiro. A sua análise será realizada em dois atos:
(i) Prova matemática usando o conceito de Limite
(ii) Relação entre Capitalização Contínua e a Lei do Crescimento Natural
Alerta de equações a frente (nada complexo demais, eu prometo).
I - Prova matemática usando Limite
O método intuitivo apresentado abaixo parte da fórmula tradicional do valor futuro de um investimento (capitalização composta) chegando até a equação da capitalização contínua.
II - Relação entre Capitalização Contínua e a Lei do Crescimento Natural
Segundo a Lei do Crescimento Natural, a taxa de variação de uma variável em relação ao tempo é proporcional ao seu tamanho. O caso mais famoso de aplicação desse conceito é o crescimento de uma população.
Aqui, a expressão estabelece o seguinte: quanto maior o valor do investimento, maior o seu crescimento se a taxa de juros r for positiva (caso contrário, se trataria de uma decadência natural ao invés de crescimento).
É por isso que a realização de aportes periódicos ou o reinvestimento de juros (no caso dos títulos de renda fixa) e dividendos (no caso de ações) é tão importante para acelerar o crescimento do capital em investimentos de longo prazo.
Essa dinâmica também ajuda a explicar o crescente abismo entre uma pessoa rica e outra pobre: a primeira tende a possuir mais ativos financeiros do que a última, portanto, o seu patrimônio aumenta com mais rapidez nesse caso comparativo. Isso foi visto claramente com a forte valorização dos ativos da Bolsa de Valores a partir de abril/2020, após o momento mais agudo da pandemia no mercado.
Cabe ressaltar que os casos citados anteriormente não são de capitalização contínua. Esse fenômeno é mais utilizado no embasamento teórico de modelos de precificação de ativos do que em produtos financeiros disponíveis ao público de varejo. Ainda assim, é fascinante o entendimento de dinâmicas que regem o dinheiro a partir da matemática e que estão presentes até mesmo na natureza.
Comentários